オペアンプの「有効帯域幅」

　例えば、センサーからの信号を処理する回路において、振幅誤差を最小限に抑えたいというのはよくあることだ。こうした考えに基づく設計では、オペアンプの閉ループゲイン誤差について、センサーの動作周波数の全域にわたって考慮しなければならない。通常、オペアンプの帯域はゲインが3dB低下する周波数（以下、－3dB周波数）で規定されるが、－3dB周波数でのゲイン誤差は約30％にもなる。

　オペアンプ単体の周波数応答と、オペアンプ回路として必要な増幅度の精度を関連付けるには、「有効帯域幅」という概念を用いると便利である。この有効帯域幅は、ゲイン誤差が所望値以内である範囲を表すものとする。

　センサーの応答周波数は比較的低い。こうした低周波域では、オペアンプの開ループゲインが有限であることが理由で生じるゲイン誤差は小さい。低周波域に限れば、その最大周波数が有効帯域幅に含まれているか否かは、単極（シングルポール）で閉ループの周波数応答モデルを基に簡単に計算できる。また、オペアンプのデータシートに記載されるゲイン帯域幅積（GB積：ゲインと帯域幅の積）のような規格値を基に、有効帯域幅を求めるのも有効な方法だろう。

有効帯域幅の求め方

　ここで、有効帯域幅の値を求める具体例を示すことにする。まずは、振幅の最大許容誤差を決める要因について考えてみる。ここでは、アナログ信号ラインの終端がA-Dコンバータへの入力となるアプリケーションを例にとる。この場合、最終的にはA-Dコンバータの分解能が信号の誤差に大きくかかわることになる。例として、許容最大誤差がA-Dコンバータの分解能の1/2（1/2LSB）であるとしよう。そうすると、A-Dコンバータの分解能が高くなれば、許容最大誤差は小さくなる。表1に、A-Dコンバータの分解能が8～22ビットの場合に1/2LSBがどのような大きさになるのかを示した。1/2LSBの大きさは、フルスケールを1として、以下の式で計算できる。

表1　A-Dコンバータの分解能と1/2LSBの大きさ

　上式において、ERRORはA-Dコンバータにおける1/2LSBの大きさ、ADC_RESOLUTIONはA-Dコンバータの分解能を表す。

　周波数応答が単極である場合、ゲイン誤差の周波数特性の評価には、正規化のための単極関数を利用するとよい。この単極関数では、閉ループゲインの－3dB周波数に相当する極の周波数f_Cを1Hzとし、ゲインは1倍（0dB）であるとする（図1）。この関数を利用すれば、ゲイン誤差が所望値以下に収まる周波数を簡単に計算できる。その計算結果から、閉ループゲインの－3dB帯域幅に対する比率として有効帯域幅が求まる。

図1　正規化に用いる単極関数

　ここで、－3dB周波数でのゲイン誤差が約30％であることと、少ないゲイン誤差を求める場合、広い帯域幅は得られないことを確認しておこう。

　表2は単極関数を用いて計算したゲイン（GAIN）、ゲイン誤差（GAIN_ERROR）の例である。この表において、左端の列は周波数fを表す。これらの各周波数に対し、以下の式②、③、④から計算される値が左端から2～4番目の列の値だ。

表2 正規化した周波数とゲイン誤差

　次のステップは、上記の結果を基に、使用するA-Dコンバータの分解能の1/2LSBに相当するゲイン誤差が発生する周波数を求めることである。式④と式①が等しいと置いた結果得られる次の式⑤を使用すれば、ゲイン誤差が1/2LSBになる周波数が計算できる。

表3　A-Dコンバータの分解能と1/2LSBに相当する誤差が生じる周波数

　表1と式⑤を用いた計算結果を表3に示す。この表において、右端の列はゲイン誤差がA-Dコンバータの1/2LSBに等しくなる周波数である。これより低い周波数でのゲイン誤差は1/2LSBより小さくなる。すなわち、この周波数までの帯域幅が、使用するA-Dコンバータに対する有効帯域幅だということである。

　例えば、10ビットのA-Dコンバータに信号を送るオペアンプの有効帯域幅は－3dB周波数の0.03126倍に位置し、14ビットのA-Dコンバータを利用する場合の有効帯域幅は－3dB周波数の0.007813に位置することになる。オペアンプの閉ループゲインにおける－3dB周波数を100kHzとすると、有効帯域幅は10ビットのA-Dコンバータでは31.3kHz、14ビットのA-Dコンバータでは7.81kHzになるということだ。この結果から、オペアンプの有効帯域幅は－3dB周波数よりもかなり低くなることがわかる。